Question

在三角形中，对任意λ都有，则△ABC形状（ ）
A．锐角三角形
B．钝角三角形
C．直角三角形
D．等腰三角形

Answer

在三角形ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，将≥⇔≥⇔c2+λ2b2-2bcλcosA≥a2，整理成关于λ的二次不等式恒成立问题，利用△≤0结合正弦定理可得到sin2C≥1，从而可得答案．
【解析】
在△ABC中，设A，B，C的对边分别为a，b，c，则=c，=b，==a，
∵对任意λ都有≥，
∴对任意λ都有≥，
即c2+λ2b2-2bcλcosA≥a2对任意λ恒成立，
即λ2b2-2bccosA•λ+c2-a2≥0恒成立，
∵b2＞0，
∴△=4b2c2cos2A-4b2（c2-a2）≤0，
∴c2sin2A≥a2，
在三角形ABC中，由正弦定理可得sin2Csin2A≥sin2A，
∴sin2C≥1，又C为△ABC的内角，0＜sinC≤1，
∴sinC=1．
∴三角形ABC为直角三角形．
故选C．