Question

已知椭圆：，左右焦点分别为F₁，F₂，过F₁的直线l交椭圆于A，B两点，则的最大值为    ．

Answer

如图所示，利用椭圆的定义得到=12-．因此只有当取得最小值时，取得最大值，分AB⊥x轴和AB与x轴不垂直两种情况讨论，当AB与x轴不垂直时，利用弦长公式即可得出，通过比较得到的最小值．
【解析】
如图所示，
由椭圆的定义可知：=，
∴=12-．好
当AB⊥x轴时，把x=-c代入椭圆的方程得，解得，
此时，，则=12-=；
当直线AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=k（x+c），A（x1，y1），
B（x2，y2）．
联立，消去y得到（b2+9k2）x2+18k2cx+9k2c2-9b2=0，
∴，，
∴=
=．
综上可知：只有当AB⊥x轴时，取得最小值，此时取得最大值．
故答案为．