Question

条件“abc＜0”是曲线“ax²+by²=c”为双曲线的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件

Answer

当条件“abc＜0”成立时，取a=b=1，c=-1可得曲线为x2+y2=-1，不能表示双曲线，所以充分性不成立；当“曲线ax2+by2=c为双曲线”时，以x2-y2=-1为例可得abc＞0，不满足条件“abc＜0”，必要性也不成立．由此可得本题的答案．
【解析】
先看充分性
当“abc＜0”成立时，取a=b=1，c=-1
此时曲线ax2+by2=c为x2+y2=-1，不能表示任何曲线
∴“abc＜0”不是“曲线ax2+by2=c为双曲线”的充分条件；
再看必要性
当“曲线ax2+by2=c为双曲线”时，取a=1，b=c=-1，
此时曲线为x2-y2=-1，表示焦点在y轴上的双曲线
但abc＞0，不满足条件“abc＜0”
∴“abc＜0”不是“曲线ax2+by2=c为双曲线”的必要条件
因此，“abc＜0”是“曲线ax2+by2=c为双曲线”的既不充分也不必要条件．
故选：D