Question

已知数列{a_n}对任意的n≥2，n∈N^*满足：a_n+1+a_n-1＜2a_n，则称{a_n}为“Z数列”．
（1）求证：任何的等差数列不可能是“Z数列”；
（2）若正数列{b_n}，数列{lgb_n}是“Z数列”，数列{b_n}是否可能是等比数列，说明理由，构造一个数列{c_n}，使得{c_n}是“Z数列”；
（3）若数列{a_n}是“Z数列”，设s，t，m∈N^*，且s＜t，求证求证a_t+m-a_s+m＜a_t-a_s．

Answer

（1）利用等差数列的通项公式和“Z数列”的意义即可证明；
（2）利用对数的运算法则、“Z数列”的定义、等比数列的性质即可证明；由“Z数列”的意义：若an+1-an＜an-an-1，则，根据几何意义只要cn=f（n）的一阶导函数单调递减就可以．
（3）分别计算出at-as，at+m-as+m，设bs=as+1-as，利用数列{bn}满足对任意的n∈N*bn+1＜bn，即可证明．
【解析】
（1）设等差数列{an}的首项a1，公差d，
∵an=a1+（n-1）d，an+1+an-1-2an=a1+nd+a1+（n-2）d-2a1-2（n-1）d=0，
所以任何的等差数列不可能是“Z数列”．
或者根据等差数列的性质：an+1+an-1=2an
所以任何的等差数列不可能是“Z数列”．
（2）∵an是“Z数列”，∴lgan+1+lgan-1＜2lgan
∴，所以{an}不可能是等比数列．
等比数列只要首项c1＜0公比q≠1．
[其他的也可以：（a＜0）或]
等比数列{cn}的首项c1，公比q，通项公式
=恒成立，∴c1＜0．
（3）因为bs=as+1-as，bs+1=as+2-as+1，bs+2=as+3-as+2，…，bt-1=at-at-1
∴
同理：
因为数列{bn}满足对任意的n∈N*bn+1＜bn，
所以bt-1＞bt+m-1，bt-2＞bt+m-2，…，bs+m＞bs，
∴at-as＞at+m-as+m．