Question

设椭圆E：（a＞b＞0）过M（2，），N（，1）两点，O为坐标原点，
（1）求椭圆E的方程；
（2）是否存在圆心在原点的圆，使该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A、B，且？若存在，写出该圆的方程，并求|AB|取值范围；若不存在，说明理由．

Answer

（1）由椭圆E过M、N，知，由此能求出椭圆E．
（2）假设存在这样的圆，设该圆的切线为y=kx+m，由，知（1+2k2）x2+4kmx+2m2-8=0，再由根的判别式和韦达定理能求出|AB|取值范围．
【解析】
（1）椭圆E过M、N
∴∴∴椭圆E：（5分）
（2）假设存在这样的圆，设该圆的切线为y=kx+m，由
∴（1+2k2）x2+4kmx+2m2-8=0
当△=16k2m2-4（1+2k2）（2m2-8）=8（8k2-m2+4）＞0，要使
∴x1x2+y1y2=0∴
∴3m2-8k2-8=0∴
又 8k2-m2+4＞0∴∴∴
又y=kx+m与圆心在原点的圆相切
∴，即，
∴所求圆：
当切线斜率不存在时，切线为，与椭圆交于（，）
或（，），满足
综上：存在这样的圆满足条件 （9分）
∵
当k≠0时，
∴（当时取等）
当k=0时，
当k不存时，
∴（12分）