Question

如图，在四棱锥P一ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，Q为AD的中点．PA=PD=AD=2，点M在线段PC上 PM=PC
（1）证明：PA∥平面MQB；
（2）若平面PAD⊥平面ABCD，求二面角M-BQ-C．

Answer

（1）证明线面平行，关键是利用线面平行的判定定理，只要证明PA平行于平面内的一条直线；
（2）证明MN⊥BQ，BC⊥BQ，MN∥PA，BC∥DA，从而空间角M-BQ-C 可以变成∠PAD=60°，故可求二面角M-BQ-C的平面角．
（1）证明：连接AC交BQ于N，连接MN
因为 AQ∥BC，所以△ANQ∽△BNC
∴，∴
∵PM=PC，∴PA∥MN
∵PA⊄平面MQB，MN⊂平面MQB
∴PA∥平面MQB
（2）【解析】
因为BQ⊥AD，由于平面PAD⊥平面ABCD，所以BQ⊥PA
因为PA∥MN 所以MN⊥BQ
又因为 BC∥AD 而 BQ⊥DA，所以BC⊥BQ
因为MN∥PA，BC∥DA，MN⊥BQ，BC⊥BQ
∴空间角M-BQ-C的平面角等于∠PAD，
∵∠PAD=60°
∴二面角M-BQ-C的平面角为60°．