Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：=1（a＞b＞0）经过点M（3，），椭圆的离心率e=，F₁、F₂分别是椭圆的左、右焦点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点M作两直线与椭圆C分别交于相异两点A、B．
①若直线MA过坐标原点O，试求△MAF₂外接圆的方程；
②若∠AMB的平分线与y轴平行，试探究直线AB的斜率是否为定值？若是，请给予证明；若不是，请说明理由．

Answer

（1）利用椭圆的离心率化简方程，根据椭圆过点M（3，），即可求椭圆C的方程；
（2）①求得MA的中垂线方程、MF2的中垂线方程，从而可得圆心与半径，即可求△MAF2外接圆的方程；
②直线与椭圆方程联立，利用韦达定理，结合斜率公式，即可得到结论．
【解析】
（1）由椭圆的离心率e=，可得a2=9b2，故椭圆方程为…（3分）
又椭圆过点M（3，），则，解得b2=4，
所以椭圆的方程为…（5分）
（2）①记△MAF2的外接圆的圆心为T．
因为，所以MA的中垂线方程为y=-3x，
又由M（3，），F2（，0），得MF1的中点为，
而=-1，
所以MF2的中垂线方程为，
由，得T（） …（8分）
所以圆T的半径为=，
故△MAF2的外接圆的方程为…（10分）
（3）设直线MA的斜率为k，A（x1，y1），B（x2，y2）．（x2＞x1）
由题直线MA与MB的斜率互为相反数，
∴直线MB的斜率为-k．
联立直线MA与椭圆方程，可得（9k2+1）x2+x+162k2-108k-18=0
∴x1+x2=-，…（13分）
又
∴==为定值…（16分）