Question

对于定义在区间D上的函数f（x），若任给x∈D，均有f（x）∈D，则称函数f（x）在区间D上封闭．
（1）试判断f（x）=x-1在区间[-2.1]上是否封闭，并说明理由；
（1）若函数g（x）=在区间[3，10]上封闭，求实数a的取值范围；
（1）若函数h（x）=x³-3x在区间[a，b[（a，b∈Z）上封闭，求a，b的值．

Answer

（1）由函数f（x）=x-1在区间[-2，1]上是增函数求出在[-2，1]上的值域，不满足在区间上封闭的概念；
（2）把给出的函数g（x）=变形为3+，分a=3，a＞3，a＜3三种情况进行讨论，利用函数在区间[3，10]上封闭列式求出a的取值范围；
（3）求出函数h（x）=x3-3x的导函数，得到三个不同的单调区间，然后对a，b的取值分类进行求解．
【解析】
（1）f（x）=x-1在区间[-2，1]上单调递增，所以f（x）的值域为[-3，0]
而[-3，0]⊈[-2，1]，所以f（x）在区间[-2，1]上不是封闭的；
（2）因为g（x）==3+，
①当a=3时，函数g（x）的值域为{3}⊆[3，10]，适合题意．
②当a＞3时，函数g（x）=3+在区间[3，10]上单调递减，故它的值域为，
由⊆[3，10]，得，解得3≤a≤31，故3＜a≤31．
③当a＜3时，在区间[3，10]上有，显然不合题意．
综上所述，实数a的取值范围是3≤a≤31；
（3）因为h（x）=x3-3x，所以h′（x）=3x2-3=3（x+1）（x-1），
当x∈（-∞，-1）时，h′（x）＞0，当x∈（-1，1）时，h′（x）0．
所以h（x）在（-∞，-1）上单调递增，在（-1，1）上递减，在（1，+∞）上递增．
①当a＜b≤-1时，h（x）在区间[a，b]上递增，所以，
即，解得-2≤a≤0或a≥2，b≤-2或0≤b≤2，又a＜b≤-1，此时无解．
②当a≤-1且-1＜b≤1时，因h（x）max=h（-1）=2＞b，矛盾，不合题意
③当a≤-1且b＞1时，因为h（-1）=2，h（1）=-2都在函数的值域内，故a≤-2，b≥2，
又，得，解得-2≤a≤0或a≥2，b≤-2或0≤b≤2，从而a=-2，b=2．
④当-1≤a＜b≤1时，h（x）在区间[a，b]上递减，，即（*）
而a，b∈Z，经检验，满足-1≤a＜b≤1的整数组a，b均不合（*）式．
⑤当-1＜a＜1且b≥1时，因h（x）min=h（1）=-2＜a，矛盾，不合题意．
⑥当b＞a≥1时，h（x）在区间[a，b]上递增，所以，
即，解得-2≤a≤0或a≥2，b≤-2或0≤b≤2，又b＞a≥1，此时无解．
综上所述，所求整数a，b的值为a=-2，b=2．