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出定义在(0,+∞)上的三个函数:f(x)=lnx,g(x)=x2-af(x),...

出定义在(0,+∞)上的三个函数:f(x)=lnx,g(x)=x2-af(x),manfen5.com 满分网,已知g(x)在x=1处取极值.
(Ⅰ)确定函数h(x)的单调性;
(Ⅱ)求证:当1<x<e2时,恒有manfen5.com 满分网成立;
(Ⅲ)把函数h(x)的图象向上平移6个单位得到函数h1(x)的图象,试确定函数y=g(x)-h1(x)的零点个数,并说明理由.
(Ⅰ)由题设,g(x)=x2-alnx,则.由已知,g'(1)=0,a=2.于是,则.由此能确定确定函数h(x)的单调性. (Ⅱ)当1<x<e2时,0<lnx<2,即0<f(x)<2.欲证,只需证x[2-f(x)]<2+f(x),即证.由此能够证明当1<x<e2时,恒有成立. (Ⅲ)由题设,.令g(x)-h1(x)=0,则.设,h3(x)=-x2+x+6(x>0),则,由,得x>4. 所以h2(x)在(4,+∞)上是增函数,在(0,4)上是减函数.由此入手能够确定函数y=g(x)-h1(x)的零点个数. 【解析】 (Ⅰ)由题设,g(x)=x2-alnx, 则.(1分) 由已知,g'(1)=0, 即2-a=0⇒a=2.(2分) 于是, 则.(3分) 由, 所以h(x)在(1,+∞)上是增函数,在(0,1)上是减函数.(4分) 证明:(Ⅱ)当1<x<e2时,0<lnx<2, 即0<f(x)<2.(5分) 欲证, 只需证x[2-f(x)]<2+f(x), 即证.(6分) 设, 则. 当1<x<e2时,φ'(x)>0, 所以φ(x)在区间(1,e2)上为增函数.(7分) 从而当1<x<e2时,φ(x)>φ(1)=0, 即, 故.(8分) 【解析】 (Ⅲ)由题设,. 令g(x)-h1(x)=0, 则, 即.(9分) 设, h3(x)=-x2+x+6(x>0), 则, 由,得x>4. 所以h2(x)在(4,+∞)上是增函数, 在(0,4)上是减函数.(10分) 又h3(x)在(0,)上是增函数, 在(,+∞)上是减函数. 因为当x→0时,h2(x)→+∞,h3(x)→6. 又h2(1)=2,h3(1)=6,h2(4)=4-2ln4>0,h3(4)=-6, 则函数h2(x)与h3(x)的大致图象如下:(12分) 由图可知,当x>0时,两个函数图象有2个交点, 故函数y=g(x)-h1(x)有2个零点.(13分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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