Question

已知函数f（x）=x²-alnx，g（x）=x-．
（1）若a∈R，求函数f（x）的极值；
（2）若函数f（x）在（1，2）上是增函数，g（x）在（0，1）上为减函数，求f（x），g（x）的表达式；
（3）对于（2）中的f（x），g（x），求证：当x＞0时，方程f（x）=g（x）+2有唯-解．

Answer

（1）先求定义域，然后求函数的导数f'（x），利用极值的定义确定函数f（x）的极值．
（2）利用函数f（x）在（1，2）上是增函数，g（x）在（0，1）上为减函数，确定参数a的数值，从而确定函数f（x），g（x）的表达式．
（3）由f（x）=g（x）+2得f（x）-g（x）-2=0，构造函数h（x）=f（x）-g（x）-2，利用导数研究函数h（x）的极值和最值．
【解析】
（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），函数的导数为，
①若a≤0，f'（x）＞0横成立，此时函数f（x）单调递增，无极值．
②若a＞0，则由，解得，此时函数f（x）单调递增．
由，解得，此时函数f（x）单调递减．
所以当时，函数f（x）取得极小值．
综上，若a≤0，函数f（x）无极值．
若a＞0，函数f（x）取得极小值．
（2）若函数f（x）在（1，2）上是增函数，则恒成立，
即a≤2x2在（1，2）上恒成立，所以a≤2．
又，要使g（x）在（0，1）上为减函数，
则在（0，1）上恒成立，
即在（0，1）上恒成立，所以a≥2．
综上a=2．
（3）由f（x）=g（x）+2得f（x）-g（x）-2=0，设h（x）=f（x）-g（x）-2=，
则，由且x＞0，得，
解得x＞1，此时函数h（x）单调递增．
由h'（x）＜0，解的0＜x＜1．此时函数h（x）单调递减．
所以函数h（x）在x=1处取得极小值同时也是最小值h（0）=0，
当x＞0时，且x≠1时，h（x）＞0，所以h（x）=0在（0，+∞）上只有一个解，即当x＞0时，方程f（x）=g（x）+2有唯-解．