Question

已知函数f（x）=，函数g（x）=3（x-1）²．
（1）当a＞0时，求f（x）和g（x）的公共单调区间；
（2）当a＞2时，求函数h（x）=f（x）-g（x）的极小值；
（3）讨论方程f（x）=g（x）的解的个数．

Answer

（1）分别求导函数，令导数大于0，可得单调递增区间；令导数小于0，可得单调递减区间；
（2）h（x）=-3（x-1）2．h′（x）=3ax2-3（a+2）x+6=3a（）（x-1），可求h（x）的极小值为h（1）=，
（3）只需考察h（x）=f（x）-g（x）的图象与x轴交点个数即可．需求出h（x）极值，利用极值的正负情况，根据图象解得．
【解析】
（1）f′（x）=3ax2-3ax=3ax（x-1），a＞0时，由f′（x）＞0，得x＜0或x＞1，由f′（x）＜0，得0＜x＜1，
所以f（x）的单调递增区间是（-∞，0），和（1，+∞），单调递减区间是（0，1）．而函数g（x）的单调递增区间是（1，+∞），单调递减区间是（0，1）．所以两个函数的公共单调递增区间是（1，+∞），公共单调递减区间是（0，1）．
（2）h（x）=-3（x-1）2．
h′（x）=3ax2-3（a+2）x+6=3a（）（x-1），
令h′（x）=0，得，或x=1，由于＜1，
易知x=1为h（x）的极小值点，
所以h（x）的极小值为h（1）=，
（3）由（2）h（x）=-3（x-1）2．h′（x）=3ax2-3（a+2）x+6=3a（）（x-1），
①若a=0，则h（x）=-3（x-1）2．h（x）的图象与x轴只有一个交点，即方程f（x）=g（x）只有一个解．
②若a＜0，则h（x）的极大值为h（1）=，h（x）的极小值为h（）=-＜0，h（x）的图象与x轴有三个交点，即方程f（x）=g（x）有三个解．
③若0＜a＜2，则h（x）的极大值为h（1）=＜0，h（x）的图象与x轴只有一个交点，即方程f（x）=g（x）只有一个解．
④若a=2，则h′（x）=6（x-1）2≥0，h（x）单调递增，h（x）的图象与x轴只有一个交点，即方程f（x）=g（x）只有一个解．
⑤若a＞2，则由（2）知，h（x）的极大值为h（）=＜0，h（x）的图象与x轴只有一个交点，即方程f（x）=g（x）只有一个解．
综上所述，当a≥0，方程f（x）=g（x）只有一个解．若a＜0，方程f（x）=g（x）有三个解．