Question

已知函数
（1）若函数f（x）在x=x₁，x=x₂处取得极值，且|x₁-x₂|=2，求a的值及f（x）的单调区间；
（2）若，求曲线f（x）与的交点个数．

Answer

（1）由函数，知f′（x）=x2-2ax-1，由函数f（x）在x=x1，x=x2处取得极值，知x1+x2=2a，x1•x2=-1，由|x1-x2|=2，能求出a=0．由此能求出f（x）的单调区间．
（2）设 F（x）=f（x）-g（x），则F（x）=，由F′（x）=x2-（2a+1）x+2a=（x-1）（x-2a），，-2≤x≤0，知F（x）在[-2，0]上是增函数，再由F（-2）＜0，F（0）＞0，知曲线f（x）与，（-2≤x≤0）的交点个数是1个．
【解析】
（1）∵函数，
∴f′（x）=x2-2ax-1，
∵函数f（x）在x=x1，x=x2处取得极值，
∴x1+x2=2a，x1•x2=-1，
∵|x1-x2|=2，
∴==2，
∴a=0．
∴f′（x）=x2-1，
由f′（x）=x2-1＞0，得x＜-1，或x＞1；
由f′（x）=x2-1＜0，得-1＜x＜1，
∴f（x）在（-∞，-1）增，在（-1，1）减，在（1，+∞）增．
（2）设 F（x）=f（x）-g（x），
∵，
，（-2≤x≤0），
∴F（x）=，
∴F′（x）=x2-（2a+1）x+2a=（x-1）（x-2a），
∵，-2≤x≤0，
∴F′（x）=x2-（2a+1）x+2a=（x-1）（x-2a）＞0，
F（x）在[-2，0]上是增函数，
∵F（-2）=--4a+＜0，
F（0）=，
∴曲线f（x）与，（-2≤x≤0）的交点个数是1个．