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已知双曲线W:manfen5.com 满分网的左、右焦点分别为F1、F2,点N(0,b),右顶点是M,且manfen5.com 满分网,∠NMF2=120°.
(Ⅰ)求双曲线的方程;
(Ⅱ)过点Q(0,-2)的直线l交双曲线W的右支于A、B两个不同的点(B在A、Q之间),若点H(7,0)在以线段AB为直径的圆的外部,试求△AQH与△BQH面积之比λ的取值范围.
(Ⅰ)由已知M(a,0),N(b,0),F2(c,0),=(-a,b)•(c-a,0)=a2-ac=-1,由∠NMF2=120°,知∠NMF1=60°,故b=,c=,由此能求出双曲线的方程. (Ⅱ)直线l的斜率存在且不为0,设直线l:y=kx-2,设A(x1,y1),B(x2,y2),由,得(3-k2)x2+4kx-7=0,由此入手,能够求出的取值范围. 【解析】 (Ⅰ)由已知M(a,0),N(b,0),F2(c,0),=(-a,b)•(c-a,0)=a2-ac=-1, ∵∠NMF2=120°,则∠NMF1=60°, ∴b=,∴c=, 解得a=1,b=,∴双曲线的方程为.(4分) (Ⅱ)直线l的斜率存在且不为0,设直线l:y=kx-2,设A(x1,y1),B(x2,y2), 由,得(3-k2)x2+4kx-7=0, 则, 解得.     ①(6分) ∵点H(7,0)在以线段AB为直径的圆的外部,则, =(1+k2)x1x2-(7+2k)(x1+x2)+53 =(1+k2)•-(7+2k)•+53 =>0,解得k>2.  ② 由①、②得实数k的范围是2<k<,(8分) 由已知, ∵B在A、Q之间,则,且λ>1, ∴(x1,y1+2)=λ(x2,y2+2),则x1=λx2, ∴, 则=,(10分) ∵2<k<,∴4<,解得,又λ>1, ∴1<λ<7. 故λ的取值范围是(1,7).(13分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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