Question

在几何体ABCDE中，AB=AD=BC=CD=2，AB丄AD，且AE丄平面ABD，平面BD丄平面ABD
（I）当AB∥平面CDE时，求AE的长；
（II）当AE=2+时，求二面角A-EC-D的大小．

Answer

（Ⅰ）设AE=a，如图建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（2，0，0），D（0，2，0），E（0，0，a），取BD中点T，连CT，AT，求出平面CDE的一个法向量为，根据AB∥平面CDE可得=0，由此可求出a值，即AE长；
（Ⅱ）转化为求两平面法向量的夹角，由（Ⅰ）易知平面CDE的一个法向量，可证平面AEC的一个法向量为=（-2，2，0），利用向量夹角公式即可求得，注意二面角与向量夹角的关系；
【解析】
（Ⅰ）设AE=a，如图建立空间直角坐标系，
则A（0，0，0），B（2，0，0），D（0，2，0），E（0，0，a），
取BD中点T，连CT，AT，则CT⊥BD，
又平面CBD⊥平面ABD，
∴CT⊥平面ABD，∴CT∥AE，
∵CD=BC=2，BD=2，
∴CD⊥CB，∴CT=，
∴C（1，1，），
=（2，0，0），=（0，-2，a），=（1，-1，），
设平面CDE的一个法向量为=（x，y，z），
则有，则-2y+az=0，x-y+z=0，
取z=2，则y=a，x=a-2，所以=（a-2，a，2），
∵AB∥平面CDE，
∴=0，∴a-2=0，
所以a=2；
（Ⅱ）∵a=2+，
∴由上述（Ⅰ）易知平面CDE的一个法向量，
BD⊥AT，BD⊥AE，∴BD⊥平面ACE，
则平面AEC的一个法向量为=（-2，2，0），
故cos＜，＞=，所以θ=，
故二面角A-EC-D的大小为．