Question

在数{a_n}中，a₁=1，a₂=，a_n+1-a_n+a_n-1=0（n≥2，且n∈N^*）
（I）若数列{a_n+1+λa_n}是等比数列，求实数λ；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）设S_n=求证：S_n＜．

Answer

（I）由数列{an+1+λan}是等比数列，可设an+1+λan=μ（an+λan-1），根据条件即可得到结论；
（II）n≥2时，an-an-1=3n-1①，an-3an-1=②，从而可求数列的通项；
（III）证明（n≥2），利用放缩法，可得结论．
（I）【解析】
由数列{an+1+λan}是等比数列，可设an+1+λan=μ（an+λan-1）（n≥2）
∴an+1+（λ-μ）an-λμan-1=0，
∵an+1-an+an-1=0，
∴，
∴λ=-或λ=-3；
（II）【解析】
由上知，n≥2时，an-an-1=3n-1①
∴an-3an-1=②
由①②可得；
（III）证明：由（II）知，＞0，
∵an-3an-1=，∴an＞3an-1
∴（n≥2）
∴Sn＜=-＜
∴Sn＜．