Question

已知函数f（x）=xlnx．
（I）若函数g（x）=f（x）+x²+ax+2有零点，求实数a的最大值；
（II）若∀x＞0，≤x-kx²-1恒成立，求实数k的取值范围．

Answer

（I））由函数g（x）=f（x）+x2+ax+2有零点，即g（x）=xlnx+x2+ax+2在（0，+∞）上有实数根．
即-a=lnx+x+在（0，+∞）上有实数根．令h（x）=，（x＞0），利用导数求出h（x）的最小值，则-a≤h（x）min．
（II））由已知∀x＞0，≤x-kx2-1恒成立⇔．令g（x）=x-1-lnx，x＞0．利用导数得出g（x）的最小值即可．
【解析】
（I）∵函数g（x）=f（x）+x2+ax+2有零点，
∴g（x）=xlnx+x2+ax+2在（0，+∞）上有实数根．
即-a=lnx+x+在（0，+∞）上有实数根．
令h（x）=，（x＞0），则=．

解h′（x）＜0，得0＜x＜1；解h′（x）＞0，得x＞1．

∴h（x）在（0，1）上单调递减；在（1，+∞）上单调递增．

∴h（x）在x=1时取得极小值，即最小值h（1）=3．

∴-a≥3，解得a≤-3．∴实数a的最大值为-3．

（II）∵∀x＞0，≤x-kx2-1恒成立，
∴lnx≤x-1-kx2，即．

令g（x）=x-1-lnx，x＞0．

=，
令g′（x）＞0，解得x＞1，∴g（x）在区间（1，+∞）上单调递增；

令g′（x）＜0，解得0＜x＜1，∴g（x）在区间（0，1）上单调递减．

∴当x=1时，g（x）取得极小值，即最小值，∴g（x）≥g（1）=0，
∴k≤0，即实数k的取值范围是（-∞，0]．