Question

已知各项都不相等的等差数列{a_n}的前六项和为60，且a₆为a₁和a₂₁的等比中项．
（I）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（II）若数列；
（III）求数列．

Answer

（I）设等差数列{an}的公差为d，由题意建立方程组，求得d和a1，进而根据等差数列的通项公式和求和公式分别求得an及前n项和Sn．
（II）根据（I）中的an和b1，根据bn=（bn-bn-1）+（bn-1-bn-2）+…（b2-b1）+b1，进而求得bn ．
（III）由于 ==-，故用裂项法求数列的前n项和Tn 的值．
【解析】
（I）设等差数列{an}的公差为d，由题意可得，解得 a1=5，d=2，故an=2n+3．
（II）由题意可得 ，
∴b1=3，b2-b1=2+3，b3-b2=2×2+3，b4-b3=2×3+3，…bn-bn-1=2（n-1）+3，
累加可得bn=n（n+2），且此公式对第一项也成立，故bn=n（n+2）（n∈N*）．
（III）∵==-，
∴数列的前n项和Tn=（1-）+（-）+（-）+…+（-）=1-=．