Question

已知函数（其中t为常数且t≠0）．
（I）求证：数列为等差数列；
（II）求数列{a_n}的通项公式；
（III）设，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer

（1）由已知中，t2-2tan-1+an-1an=0，n=2，3，4，…，我们易变形为t2-tan-1=tan-1-an-1an，进而得到 -= （为常数），由此得出结论．
（2）由（1）中结论，我们结合等差数列的通项公式，及已知中a1=2t，得到数列{an}的通项公式．
（3）先求出 bn=n•2nan=（n+1）t2n，再利用错位相减法进行数列求和，从而求得结果．
【解析】
（I） 证明：（1）∵t2-2tan-1+an-1an=0，∴（t2-tan-1）-（tan-1-an-1an）=0，即 t（t-an-1）=an-1（t-an）．
∵t-an-1≠0，∴=，即==+，
∴-= （为常数），∴数列为等差数列．
（II）由上可得数列为等差数列．公差为，∴=+（n-1）=．
∴an =+t．
（3）∵bn=n•2nan=（n+1）t2n，
∴sn=t[2×21+3×22+…+（n+1）2n]①．
∴2sn=t[2×22+3×23+…+n 2n+（n+1）2n+1]②．
①-②可得-sn=t[[2×21+22+23+…+2n-（n+1）2n+1]=[2+（ 2n+1-2）-（n+1）2n+1]=-n 2n+1，
∴sn=n 2n+1．