Question

已知函数
（I）求f（x）的单调区间；
（II）求证：不等式恒成立．

Answer

（I）求导函数，对参数进行分类讨论：若a≤0，则f′（x）＞0，函数为增函数；若a＞0，令f′（x）＞0，可得f（x）的单调增区间，令f′（x）＜0，可得单调减区间；
（II）构造函数，求导函数，可得f'（x）==，令g（x）=（x-1）2-x（lnx）2，g'（x）=2（x-1）-（lnx）2-2lnx，g“（x）=，设h（x）=x-lnx-1，x∈（1，2），证明h（x）在（1，2）上单调增，从而可得g'（x）在（1，2）上单调增，进一步可得g（x）在（1，2）上单调增f（x）在（1，2）上单调减，即可得到结论．
（I）【解析】
求导函数，可得（x＞0）
若a≤0，则f′（x）＞0，函数为增函数，函数的单调增区间为（0，+∞）
若a＞0，令f′（x）＞0，可得x＞a，令f′（x）＜0，可得0＜x＜a，
∴f（x）的单调增区间为（a，+∞），单调减区间为（0，a）；
（II）证明：设，求导函数，可得f'（x）==
令g（x）=（x-1）2-x（lnx）2，g'（x）=2（x-1）-（lnx）2-2lnx，g“（x）=，
设h（x）=x-lnx-1，x∈（1，2），h'（x）=1-＞0，
∴h（x）在（1，2）上单调增，∴h（x）＞h（1）=0，
∴g“（x）＞0，g'（x）在（1，2）上单调增，∴g'（x）＞g'（1）=0，
∴g（x）在（1，2）上单调增，∴g（x）＞g（1）=0，
∴f'（x）＜0，∴f（x）在（1，2）上单调减，f（x）＜f（2）＜0，
∴
∴．