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在平面直角坐标系xOy中,点A(4,0)、B(1,0),动点P满足. (1)求点...

在平面直角坐标系xOy中,点A(4,0)、B(1,0),动点P满足manfen5.com 满分网
(1)求点P的轨迹C的方程.
(2)若直线y=x+b(b>0)与轨迹C相交于M、N两点,直线y=x-b与轨迹C相交于P、Q两点,顺次连接M、N、P、Q得到的四边形MNPQ是菱形,求b.
(1)设出P的坐标,则,和可表示出,根据整理求得P的轨迹方程. (2)设出M,N的坐标,利用对称性可推断出P,Q的坐标,因为MNPQ是菱形,判断出MP⊥NQ,,即x1x2+y1y2=0,由直线与椭圆的方程联立消去y后,根据韦达定理表示出x1+x2和x1x2,进而利用x1x2+y1y2=0,求得b. 【解析】 (1)设P(x,y),则,,, 因为,所以, 化简整理得点P的轨迹C的方程为. (2)设M(x1,y1)、N(x2,y2),由C的对称性,得P(-x1,-y1)、Q(-x2,-y2), 因为MNPQ是菱形,所以MP⊥NQ,,即x1x2+y1y2=0, 由得7x2+8bx+(4b2-12)=0,, , 检验知,此时, 所以.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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