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已知,g(x)=lnx,(x>0,a∈R是常数). (1)求曲线y=g(x)在点...

已知manfen5.com 满分网,g(x)=lnx,(x>0,a∈R是常数).
(1)求曲线y=g(x)在点P(1,g(1))处的切线l.
(2)是否存在常数a,使l也是曲线y=f(x)的一条切线.若存在,求a的值;若不存在,简要说明理由.
(3)设F(x)=f(x)-g(x),讨论函数F(x)的单调性.
(1)把x=1代入到g(x)解析式中求出g(1)的值,得到切点的坐标,然后求出g(x)的导函数,把x=1代入导函数求出对应导函数的函数即为切线的斜率,根据切点坐标和求出的斜率写出切线方程即可; (2)根据f(x)的解析式求出f(x)的导函数,因为直线l也为曲线y=f(x)的一条切线,把x=x代入到导函数中求出的函数值为直线l的斜率即为1,得到一个关系式,把切点的横坐标代入直线l的方程求出纵坐标,再把切点的横坐标代入到f(x)求出纵坐标,两者相等得到另一个关系式,把两个关系式联立即可求出切点的横坐标和a的值,所以存在常数a,使l也是曲线f(x)的切线; (3)把f(x)和g(x)代入到F(x)=f(x)-g(x)中,求出F(x)的导函数,利用a的范围a大于等于,a=0,a大于0小于,a小于0,四种情况讨论导函数的正负即可得到函数F(x)的增减区间. 【解析】 (1)g(1)=0,所以P的坐标为(1,0), ,则切线的斜率k=g′(1)=1, 所以直线l的方程为y-0=1(x-1),化简得y=x-1; (2)由,得f′(x)=a+, 设y=f(x)在x=x处的切线为l, 则有,解得, 即当时,l是曲线y=f(x)在点Q(2,1)的切线; (3). 当,时,F′(x)≥0,F(x)在(0,+∞)单调递增; 当a=0时,,F(x)在(0,1]单调递增,在(1,+∞)单调递减; 当时,解F′(x)=0得,, F(x)在(0,x1]和(x2,+∞)单调递增,在(x1,x2]单调递减; 当a<0时,解F′(x)=0得,(x2舍去), F(x)在(0,x1]单调递增,在(x1,+∞)单调递减.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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