Question

已知双曲线的中心在原点，离心率为2，一个焦点F（-2，0）
①求双曲线方程
②设Q是双曲线上一点，且过点F、Q的直线l与y轴交于点M，若，求直线l的方程．

Answer

①由题意设出双曲线的方程，再由离心率为2，一个焦点F（-2，0）求出a的值，结合b2=c2-a2求出b2，则双曲线的方程可求；
②设出直线l的斜率，由点斜式写出方程，求出点M的坐标，由，得或．
分类讨论后利用定比分点公式求出Q点的坐标，然后利用Q点在双曲线上代入求得k的值，则直线方程可求．
【解析】
①由题意设所求双曲线方程是：
则有，∴a=1，则b=
∴所求的双曲线的方程为；
②∵直线l与y轴相交于M，且过焦点F（-2，0），
∴l的斜率k一定存在，设为k，则l：y=k（x+2）．
令x=0得M（0，2k）
∵，且M、Q、F共线于l
∴或．
当时，Q分所成的比λ=2，设Q（xQ，yQ）
则
因为Q在双曲线上，所以，解得k=．
当时，Q分所成的比λ=-2，
同理求得Q（-4，-2k），代入双曲线方程得，，解得k=．
则所求的直线l的方程为：或．