Question

设函数f（x）是定义在x∈[-1，1]上的偶函数，函数g（x）的图象与f（x）的图象关于直线x=1对称，且当x∈[2，3]时，g（x）=2a（x-2）-4（x-2）³
①求f（x）的解析式；
②是否存在正整数a，使f（x）的最大值为12？若存在求出a的值，若不存在说明理由．

Answer

（1）先设f（x）的图象上任意点（x，f（x）），求出它关于直线x=1的对称点的坐标，由题意给出x的范围，再代入g（x）的解析式化简，再由偶函数的关系式求出另外一部分的解析式，最后用分段函数的形式表示出来；
（2）先假设存在，由偶函数的性质确定研究的对象，再求出函数的导数和临界点，根据临界点与区间的关系分类讨论，由导数与函数的关系判断函数的单调性，并求出函数的最值，再由题意列出方程求出a的值．
【解析】
（1）设f（x）的图象上任意点（x，f（x）），
它关于直线x=1的对称点（2-x，f（x））在g（x）的图象上，
当x∈[-1，0]时，2-x∈[2，3]，且g（x）=2a（x-2）-4（x-2）3，
∴f（x）=g（2-x）=-2ax+4x3，
当x∈（0，1]时，-x∈[-1，0），∴f（-x）=2ax-4x3，
又∵f（x）是定义在x∈[-1，1]上的偶函数，
∴f（x）=2ax-4x3，
则，
（2）假设存在正整数a，使函数f（x）的最大值为12，
又f（x）为偶函数，故只需研究函数f（x）=2ax-4x3在x∈（0，1]的最大值
令f′（x）=2a-12x2=0，得，
若时：
单调递增，
单调递减，
则
故此时不存在符合题意的a，
若时，f′（x）＞0在（0，1]上恒成立，
则f（x）在（0，1]上单调递增，
∴，
令2a-4=12，得a=8，
综上，存在a=8满足题意．