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设函数f(x)是定义在x∈[-1,1]上的偶函数,函数g(x)的图象与f(x)的...

设函数f(x)是定义在x∈[-1,1]上的偶函数,函数g(x)的图象与f(x)的图象关于直线x=1对称,且当x∈[2,3]时,g(x)=2a(x-2)-4(x-2)3
①求f(x)的解析式;
②是否存在正整数a,使f(x)的最大值为12?若存在求出a的值,若不存在说明理由.
(1)先设f(x)的图象上任意点(x,f(x)),求出它关于直线x=1的对称点的坐标,由题意给出x的范围,再代入g(x)的解析式化简,再由偶函数的关系式求出另外一部分的解析式,最后用分段函数的形式表示出来; (2)先假设存在,由偶函数的性质确定研究的对象,再求出函数的导数和临界点,根据临界点与区间的关系分类讨论,由导数与函数的关系判断函数的单调性,并求出函数的最值,再由题意列出方程求出a的值. 【解析】 (1)设f(x)的图象上任意点(x,f(x)), 它关于直线x=1的对称点(2-x,f(x))在g(x)的图象上, 当x∈[-1,0]时,2-x∈[2,3],且g(x)=2a(x-2)-4(x-2)3, ∴f(x)=g(2-x)=-2ax+4x3, 当x∈(0,1]时,-x∈[-1,0),∴f(-x)=2ax-4x3, 又∵f(x)是定义在x∈[-1,1]上的偶函数, ∴f(x)=2ax-4x3, 则, (2)假设存在正整数a,使函数f(x)的最大值为12, 又f(x)为偶函数,故只需研究函数f(x)=2ax-4x3在x∈(0,1]的最大值 令f′(x)=2a-12x2=0,得, 若时: 单调递增, 单调递减, 则 故此时不存在符合题意的a, 若时,f′(x)>0在(0,1]上恒成立, 则f(x)在(0,1]上单调递增, ∴, 令2a-4=12,得a=8, 综上,存在a=8满足题意.
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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