Question

已知椭圆（a＞b＞0）的右焦点为F₂（3，0），离心率为e．
（Ⅰ）若，求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线y=kx与椭圆相交于A，B两点，若，且，求k的取值范围．

Answer

（I）先根据椭圆方程，根据条件列出关于a，b，c的方程，求出a，b，c即可得到结论．
（II）因为直线和椭圆有两个不同的交点，所以两方程联立化成关于x的一元二次方程，可运用设而不求的办法把设出的A，B点的坐标代入向量的数量积公式，求出k关于a的函数表达式，进一步整理后求出函数的值域即可．
【解析】
（I）由题得：c=3，=⇒a=2，b=．
故椭圆方程为；
（II）由得（b2+a2k2）x2-a2b2=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），∴x1+x2=0，x1x2=，又=（3-x1，-y1），
=（3-x2，-y2），∴=（1+k2）x1x2+9=0，即，
∴k2==-1-，
∵＜e≤，
∴2≤a≤3，12≤a2≤18，
∴k2，即 k∈（-∞，-]∪[，+∞）．