Question

已知函数f（x）=（x²-3x+3）e^x．
（Ⅰ）如果f（x）定义在区间[-2，t]（t＞-2）上，那么
①当t＞1时，求函数y=f（x）的单调区间；
②设m=f（-2），n=f（t）．试证明：m＜n；
（Ⅱ）设g（x）=f（x）+（x-2）e^x，当x＞1时，试判断方程g（x）=x根的个数．

Answer

（I）利用导数的运算法则即可得出f′（x）．①当t＞1时，分当x∈（-2，0）时；当x∈（0，1）时；当x∈（1，t）时，判断f′（x）的符号即可得出其单调性．②设h（t）=n-m，利用导数研究其单调性、极值即可；
（II）利用导数（通过多次求导）研究其单调性即可．
【解析】
（I）f′（x）=（2x-3）ex+（x2-3x+3）ex=x（x-1）ex．
①当t＞1时，
当x∈（-2，0）时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；
当x∈（0，1）时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；
当x∈（1，t）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．
综上可知：当x∈（-2，0），（1，t）时，函数f（x）单调递增；当x∈（0，1）时，函数f（x）单调递减．
②设h（t）=n-m=（t2-3t+3）et-13e-2，h′（t）=t（t-1）et（t＞2），列表如下：
由表格可知h（t）的极小值为h（1）=e-=＞0，而h（-2）＞0，
∴当t＞-2时，h（t）＞h（-2），即n＞m．
（II）g（x）=（x2-3x+3）ex+（x-2）ex=（x-1）2ex，
问题转化为：判定方程（x-1）2ex=x当x＞1时，根的个数．
设u（x）=（x-1）2ex-x（x＞1），则u′（x）=（x2-1）ex-1，
设v（x）=（x2-1）ex-1（x＞1），则v′（x）=（x2+2x-1）ex，
当x＞1时，v′（x）＞0，v（x）在（1，+∞）上单调递增，而v（1）=-1＜0，v（2）=3e2-1＞0，
因此在（1，2）上存在唯一x，使得v（x）=0，即存在唯一x∈（1，2）使得u′（x）=0，
列表如下：
可知：u（x）min=u（x）＜u（1）=-1＜0，由u（2）=e2-2＞0，y=u（x）的图象如图所示，因此y=u（x）在（1，+∞）只有一个零点，即g（x）=x（x＞1）只有一个零点．