Question

（不等式选讲）
若∃x∈R，|x-7|+|x-5|+|x-3|+|x-1|＜m+3，则实数m的取值范围是    ．

Answer

由绝对值的意义可得当 3≤x≤5时，|x-5|+|x-3|有最小值为2，当 1≤x≤7时，|x-1|+|x-7|有最小值为6，可得3≤x≤5时，|x-7|+|x-5|+|x-3|+|x-1|有最小值为2+6=8，由不等式可得m+3＞8，从而求得 m的范围．
【解析】
由绝对值的意义可得当 3≤x≤5时，|x-5|+|x-3|有最小值为2，当 1≤x≤7时，|x-1|+|x-7|有最小值为6，
故当 3≤x≤5时，|x-7|+|x-5|+|x-3|+|x-1|有最小值为2+6=8，
故由不等式可得m+3＞8，m＞5，故实数m的取值范围是（5，+∞），
故答案为 （5，+∞）．