Question

已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D，E分别为AA₁，CC₁的中点，AC⊥BC，点F在线段AB上，且AB=4AF．
（Ⅰ）求证：BC⊥C₁D；
（Ⅱ）若M为线段BE上一点，BE=4ME求证：C₁D∥平面B₁FM．

Answer

（Ⅰ）利用线面垂直的性质，证明．
（Ⅱ）利用线面平行的判定定理证明C1D∥AE即可．
【解析】
（Ⅰ）由直三棱柱可知CC1⊥平面ABC，所以CC1⊥AC，…（2分）
又因为AC⊥BF，CC1∩BF=F，AC⊥面BCF，
故AC⊥BC，…（4分）
又在直三棱柱中，CC1⊥BC，CC1∩AC=C，
故BC⊥面AC1C，C1D在平面ACC1内，所以BC⊥C1D；  …（6分）
（Ⅱ）连结FM，B1M，FB1在△BEA中，由BE=4ME，AB=4AF，所以MF∥AE，
又在面AA1C1C中，易证C1D∥AE，所以C1D∥平面B1FM．    …（14分）