Question

设数列{a_n}（n=1，2，…）是等差数列，且公差为d，若数列{a_n}中任意（不同）两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列”．
（Ⅰ）若a₁=4，d=2，求证：该数列是“封闭数列”；
（Ⅱ）试判断数列是否是“封闭数列”，为什么？
（Ⅲ）设S_n是数列{a_n}的前n项和，若公差d=1，a₁＞0，试问：是否存在这样的“封闭数列”，使．若存在，求{a_n}的通项公式；若不存在，说明理由．

Answer

（I）求出数列的通项，利用定义验证可得结论；
（II）利用定义，可得an=a1+a2=-8，即n=，从而可得结论；
（III）确定a1=p-m-n+1为整数，分类讨论，即可得出结论．
（I）证明：∵a1=4，d=2，
∴an=2n+2，
对任意的m，n∈N+，有am+an=2（m+n+1）+2
于是，令p=m+n+1，则有ap=2p+2∈{an}；
（II）【解析】
∵a1=-5，a2=-3
∴a1+a2=-8，
令an=a1+a2=-8，∴n=，
∴数列不是封闭数列；
（III）【解析】
由{an}是“封闭数列”，得：对任意m，n∈N+，必存在p∈N+，使a1+（n-1）+a1+（m-1）=a1+（p-1）成立，于是有a1=p-m-n+1为整数，
又∵a1＞0
∴a1是正整数．
若a1=1则，所以，不符合题意
若a1=2，则，所以，
而，
所以符合
若a1=3，则，所以
综上所述，a1=2，an=n+1，显然，该数列是“封闭数列”．