Question

执行下面框图所描述的算法程序，记输出的一列数依次为a₁，a₂，…，a_n，n∈N*，n≤2011．
（1）若输入，写出输出结果；
（2）若输入λ=2，求数列{a_n}的通项公式；
（3）若输入λ＞2，令，求常数p（p≠±1），使得{c_n}是等比数列．

Answer

（1）输入，进行循环得到输出结果是：0，．
（2）由题意得，λ=2，所以，所以整理得（常数），（而{an}中的任意一项均不为1）
故是首项为-1，公差为-1的等差数列，可得数列的通项公式．
（3）当λ＞2时，，令，可得，．  所以，，所以cn+1=p2cn，
又c1=p≠0，故可得答案．
解 （1）输出结果是：0，，．
（2）由程序框图知，a1=0，，n∈N*，n≤2010．
因为λ=2，所以，
，而{an}中的任意一项均不为1，
否则的话，由an+1=1可以得到an=1，…，与a1=0≠1矛盾，
所以，，（常数），n∈N*，n≤2010．
故是首项为-1，公差为-1的等差数列，
所以，，数列{an}的通项公式为，n∈N*，n≤2011．
（3）当λ＞2时，，
令，则，p2-λp+1=0，．  
此时，，
所以cn+1=p2cn，n∈N*，n≤2011，
又c1=p≠0，
故存在常数（λ＞2），使得{cn}是以p为首项，p2为公比的等比数列．