Question

已知函数f（x）满足如下条件：当x∈（-1，1]时，f（x）=ln（x+1），x∈R，且对任意x∈R，都有f（x+2）=2f（x）+1．
（1）求函数f（x）的图象在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）求当x∈（2k-1，2k+1]，k∈N*时，函数f（x）的解析式；
（3）是否存在x_k∈（2k-1，2k+1]，k=0，1，2，…，2011，使得等式成立？若存在就求出x_k（k=0，1，2，…，2011），若不存在，说明理由．

Answer

（1）当x∈（-1，1]时，f（x）=ln（x+1），求出f′（0）得到切线的斜率，然后根据点斜式可求出切线方程；
（2）根据f（x+2）=2f（x）+1，所以当x∈（2k-1，2k+1]，k∈N*时，即x-2k∈（-1，1]，从而f（x）=2f（x-2）+1=22f（x-4）+2+1=23f（x-6）+22+2+1=…=2kf（x-2k）+2k-1+2k-2+…+2+1，代入解析式即可求出所求；
（3）考虑函数g（x）=2kx-f（x），x∈（2k-1，2k+1]，k∈N，求导函数，根据导数符号研究函数的单调性，可以得到当x∈（2k-1，2k+1]，k∈N时，g（x）≥g（2k）=（2k-1）2k+1，所以，，而，然后利用错位相消法求出等式右边的和，从而证得存在唯一一组实数xk=2k，k=0，1，2，…，2011，使得等式成立．
解 （1）x∈（-1，1]时，f（x）=ln（x+1），，（2分）
所以，函数f（x）的图象在点（0，f（0））处的切线方程为y-f（0）=f′（0）（x-0），即y=x．（3分）
（2）因为f（x+2）=2f（x）+1，
所以，当x∈（2k-1，2k+1]，k∈N*时，x-2k∈（-1，1]，（4分）
f（x）=2f（x-2）+1=22f（x-4）+2+1=23f（x-6）+22+2+1
=…=2kf（x-2k）+2k-1+2k-2+…+2+1=2kln（x-2k+1）+2k-1（16分）
（3）考虑函数g（x）=2kx-f（x），x∈（2k-1，2k+1]，k∈N，
则，
当2k-1＜x＜2k时，g′（x）＜0，g（x）单调递减；
当x=2k时，g′（x）=0；
当2k＜x＜2k+1时，g'（x）＞0，g（x）单调递增；
所以，当x∈（2k-1，2k+1]，k∈N时，g（x）≥g（2k）=（2k-1）2k+1，
当且仅当x=2k时，g（x）=g（2k）=（2k-1）2k+1． （10分）
所以，
而，
令Sn=1•21+3•22+…+（2n-1）2n，则2Sn=1•22+3•23+…+（2n-1）2n+1，
两式相减得，-Sn=1•21+2•22+2•23+…+2•2n-（2n-1）2n+1=．
所以，Sn=（2n-3）2n+1+6，
故．（12分）
所以，．
当且仅当xk=2k，k=0，1，2，…，2011时，．
所以，存在唯一一组实数xk=2k，k=0，1，2，…，2011，
使得等式成立．  （14分）