Question

如图；在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AD=DC=2，AB=6，动点P在以点C为圆心且与直线BD相切的圆上运动，设，则m+n的取值范围是    ．

Answer

建立直角坐标系，写出点的坐标，求出BD的方程，求出圆的方程；设出P的坐标，求出三个向量的坐标，将P的坐标用m，n表示，代入圆内方程求出范围．
【解析】
以A为坐标原点，AB为x轴，DA为y轴建立平面直角坐标系，则A（0，0），D（0，2），C（2，2），B（6，0）
直线BD的方程为x+3y-6=0，C到BD的距离d==
∴以点C为圆心，且与直线BD相切的圆方程为（x-2）2+（y-2）2=，
设P（x，y）则 =（x，y），=（0，2），=（6，0）
∴（x，y）=（6n，2m）
∴x=6n，y=2m，
∵P在圆内或圆上
∴（6n-1）2+（2m-1）2≤，
解得1≤m+n≤．
故答案为：[1，]．