Question

如图：在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，O、O₁分别是AC、A₁C₁的中点，E是线段D₁O上一点，且D₁E=λEO（λ≠0）．
（Ⅰ）求证：λ取不等于0的任何值时都有BO₁∥平面ACE；
（Ⅱ）λ=2时，证明：平面CDE⊥平面CD₁O．

Answer

（I）证明四边形D1O1BO是平行四边形，可得BO1∥OE，利用线面平行的判定定理，可得结论；
（II）求出平面CD1O的一个法向量、平面CDE的法向量，证明，可得平面CDE⊥平面CD1O．
证明：（I）由题意，O、O1分别是AC、A1C1的中点，
∴四边形D1O1BO是平行四边形，
∴BO1∥OD1
∴BO1∥OE
∵OE⊂平面ACE，BO1⊄平面ACE，
∴λ取不等于0的任何值时都有BO1∥平面ACE；
（Ⅱ）不妨设正方体的棱长为1，以DA，DC，DD1为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则可得D（0，0，0），B1（1，1，1），O，C（0，1，0），D1（0，0，1）
∴=（1，1，1），=（0，-1，1），=
∴，=0
∴DB1⊥CD1，DB1⊥OC
∴平面CD1O的一个法向量为=（1，1，1），
∵λ=2，∴E（）
又设平面CDE的法向量为=（x，y，z）
∵=（0，1，0），=（）
∴
∴可取=（1，0，-1）
∴
∴平面CDE⊥平面CD1O．