Question

已知椭圆的两焦点分别为F₁，F₂，P是椭圆在第一象限内的一点，并满足，过P作倾斜角互补的两条直线PA，PB分别交椭圆于A，B两点．
（Ⅰ）求P点坐标；
（Ⅱ）当直线PA经过点（1，）时，求直线AB的方程；
（Ⅲ）求证直线AB的斜率为定值．

Answer

（I）设P（（x，y），由题意可得，解得即可；
（II）由向量计算公式可得，两条直线PA，PB倾斜角互补，可得kPA+kPB=0，解得kPB=1．
因此直线PA，PB，的方程分别为，，分别与椭圆方程联立即可解得点A，B的坐标，再利用斜率计算公式可得斜率，利用点斜式即可得出方程；
（III）S设A（x1，y1），B（x2，y2）．设直线PA的方程为：，则直线PB的方程为．分别与椭圆方程联立即可解得点A，B的坐标，再利用斜率计算公式即可得出直线AB的斜率为定值．
【解析】
（I）由椭圆可得c=，∴两焦点分别为，．
设P（（x，y），由题意可得，解得，∴P．
（II）∵，两条直线PA，PB倾斜角互补，
∴kPA+kPB=0，解得kPB=1．
因此直线PA，PB，的方程分别为，，
化为，．
联立，解得（舍去），，即A．
同理解得B．
∴kAB==，∴直线AB的方程为，化为．
（III）S设A（x1，y1），B（x2，y2）．
设直线PA的方程为：，则直线PB的方程为．
联立，解得A．
同理B，
∴kAB==．
即直线AB的斜率为定值．