Question

如图，AB是沿太湖南北方向道路，P为太湖中观光岛屿，Q为停车场，PQ=5.2km．某旅游团游览完岛屿后，乘游船回停车场Q，已知游船以13km/h的速度沿方位角θ的方向行驶，．游船离开观光岛屿3分钟后，因事耽搁没有来得及登上游船的游客甲为了及时赶到停车地点Q与旅游团会合，立即决定租用小船先到达湖滨大道M处，然后乘出租汽车到点Q（设游客甲到达湖滨大道后能立即乘到出租车）．假设游客甲乘小船行驶的方位角是α，出租汽车的速度为66km/h．
（Ⅰ）设，问小船的速度为多少km/h时，游客甲才能和游船同时到达点Q；
（Ⅱ）设小船速度为10km/h，请你替该游客设计小船行驶的方位角α，当角α余弦值的大小是多少时，游客甲能按计划以最短时间到达Q．

Answer

（I）作PN⊥AB，N为垂足，由．，解Rt△PNQ和Rt△PNM，得到PQ和PM及MQ的长，构造方程可得满足条件的船速
（II）当小船行驶的方位角为α时，解三角形分别求出PM，MQ长，进而求出时间t的解析式，利用导数法，求出函数的最小值，可得答案．
【解析】
（Ⅰ） 如图，作PN⊥AB，N为垂足．
，，
在Rt△PNQ中，PN=PQsinθ=（km），
QN=PQcosθ=（km）．
在Rt△PNM中，（km）．…（3分）
设游船从P到Q所用时间为t1h，游客甲从P经M到Q所用时间为t2h，
小船的速度为v1km/h，则（h），（h）．  …（5分）
由已知得：，，
∴．…（7分）
∴小船的速度为km/h时，游客甲才能和游船同时到达Q．
（Ⅱ）在Rt△PMN中，（km），
（km）．
∴（km）．               …（9分）
∴=．…（11分）
∵，…（13分）
∴令t'=0得：．
当时，t'＞0；当时，t'＜0．
∵cosα在上是减函数，
∴当方位角α满足时，t最小，
即游客甲能按计划以最短时间到达Q．…（15分）