Question

已知斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧面A₁ACC₁与底面ABC垂直，∠ABC=90°，BC=2，AC=2，且AC=AA₁=A₁C．
（Ⅰ）求侧棱AA₁与底面ABC所成角的大小；
（Ⅱ）求侧面A₁ABB₁与底面ABC所成二面角的正切值；
（Ⅲ）求侧棱B₁B和侧面A₁ACC₁的距离．

Answer

（1）确定∠A1AC为侧棱AA1与底面ABC所成的角，可得结论；
（2）取AC，AB的中点分别为M，N，连结A1M，MN，NA1，可得∠A1NM即为所求二面角的平面角，从而可得结论；
（3）作BH⊥AC于点H，因为BB1∥侧面A1ACC1，所以点B到侧面A1ACC1的距离即为BB1到侧面A1ACC1的距离，利用等面积可求．
【解析】
（1）因为侧面A1ACC1⊥底面ABC，AA1⊂侧面A1ACC1，
侧面A1ACC1∩底面ABC=AC
所以直线AA1在底面ABC内的射影为直线AC
故∠A1AC为侧棱AA1与底面ABC所成的角
又AC=AA1=A1C，所以∠A1AC=60°为所求． （4分）
（2）取AC，AB的中点分别为M，N，连结A1M，MN，NA1
由（1）知A1M⊥AC
故A1M⊥底面ABC，A1M⊥AB
又MN∥BC，∠ABC=90°
所以MN⊥AB，又MN∩A1M=M，所以AB⊥平面A1MN
则∠A1NM即为所求二面角的平面角
在RtA1MN中，
所以，即所求二面角的正切值为3．     （8分）
（3）作BH⊥AC于点H，因为BB1∥侧面A1ACC1
所以点B到侧面A1ACC1的距离即为BB1到侧面A1ACC1的距离．
由（1）（2）知，BH的长即为所求
在Rt∠ABC中，BH=
所以侧棱B1B和侧面A1ACC1的距离为．        （12分）