Question

定义在R上的函数f（x）=ax³+bx²+cx+d满足：函数f（x）的图象关于原点对称且过点（3，-6），函数f（x）在点x₁、x₂处取得极值，且|x₁-x₂|=4．
（Ⅰ）求函数f（x）的表达式；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅲ）求函数f（x）过点P（1，-8）的切线方程．

Answer

（I）利用奇函数的性质可得b=d=0，因此f（x）=ax3+cx，又f（3）=27a+3c=-6   ①
由f′（x）=3ax2+c=0，得，即，c=-12a   ②由①②即可解得．                                   
（II）由（I）知，f′（x）=2x2-8，分别解出f′（x）＞0时，f′（x）＜0即可得出其单调区间；
（III）设切点Q（x，y），则点Q处的切线方程为：  ③
注意到及点P（1，-8）在此切线上，
有-8-，解出x即可．
【解析】
（I）由题意f（-x）=-f（x）对x∈R恒成立，解之得b=d=0
所以f（x）=ax3+cx，又f（3）=27a+3c=-6   ①
由f′（x）=3ax2+c=0，得
即，c=-12a   ②
由①②得a=，c=-8
故f（x）=                                    
（II）由（I）知，f′（x）=2x2-8，
当f′（x）＞0时，解得x＜-2或x＞2；
当f′（x）＜0时，解得-2＜x＜2．
所以函数f（x）的单调增区间为（-∞，-2），（2，+∞），单调减区间为（-2，2）． 
（III）设切点Q（x，y），则点Q处的切线方程为：  ③
注意到及点P（1，-8）在此切线上，
有-8-，
整理得：，即x=0或
代入方程③得8x+y=0或7x+2y+9=0为所求．