Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a₁=1，tS_n-（2t+1）S_n-1=t，其中t＞0，n∈N﹡，n≥2．
（Ⅰ）求证：数列{a_n}是等比数列；
（Ⅱ）设数列{a_n}的公比为f（t）数列{b_n}满足b₁=1，b_n=f（）（n≥2），求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若t=1，数列{b_n}的前n项和为T_n，试比较a_n和T_n的大小关系．

Answer

（Ⅰ）利用tSn-（2t+1）Sn-1=t，将条件变形，利用等比数列的定义证明是常数．
（Ⅱ）利用条件，证明数列{bn}是等差数列，然后利用等差数列的定义求通项公式．
（Ⅲ）利用（Ⅱ）的条件，求出an和Tn，然后利用作差法分别讨论an和Tn的大小．
【解析】
（Ⅰ）当n≥2时，tSn-（2t+1）Sn-1=t    ①
tSn+1-（2t+1）Sn=t    ②
②-①得：tan+1-（2t+1）an=0，
∵，
又当n=2时，由a1=1，t（a2+a1）-（2t+1）a1=t，得a2=
由于an≠0，，所以对n∈N*总有，
即数列{an}是首项为1，公比为的等比数列．            （8分）
（Ⅱ）由（1）知f（t）=，则bn=f（）=2+bn-1，
又b1=1，所以数列{bn}是以1为首项，2为公差的等差数列．
故                                   （12分）
（Ⅲ）由Ⅱ知，Tn=．
若t=1，则等比数列{an}是首项为1，公比为3，所以，
则，
当n=1时，，此时Tn=an．
当n=2时，，此时Tn＞an．
当n=3时，，此时Tn=an．
当n=4时，，此时Tn＜an．
当n＞4时，，此时恒有Tn＜an．
综上当n=1或3时，Tn=an，当n=2时，Tn＞an，当n≥4时，Tn＜an．