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过抛物线y2=2px(p>0)的对称轴上的定点M(m,0)(m>0),作直线AB...

过抛物线y2=2px(p>0)的对称轴上的定点M(m,0)(m>0),作直线AB与抛物线相交于A、B两点.
(Ⅰ)试证明A、B两点的纵坐标之积为定值;
(Ⅱ)若点N(-m,2m),求直线AN、BN的斜率之和.

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(1)由题意设直线AB的方程为x=ty+m,A(x1,y1),B(x2,y2)与抛物线的方程联立,利用根与系数的关系即可得出; (2)设直线AN,BN的斜率分别为k1k2,利用向量计算公式可得, 又,2pm=-y1y2,且y1≠y2,即可证明k1+k2=定值. (1)证明:由题意设直线AB的方程为x=ty+m,A(x1,y1),B(x2,y2) 由 消x得:y2-2pty-2pm=0    ① ∴y1y2=-2pm为定值.    (2)【解析】 设直线AN,BN的斜率分别为k1k2, 则, 又,2pm=-y1y2,且y1≠y2, 所以k1+k2= =2p() =2p() =2p ==-2. 即直线AN,BN的斜率和为-2为所求.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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