Question

已知函数f（x）=e^x-ax-1（a为实数），g（x）=lnx-x．
（1）讨论函数f（x）的单调区间；
（2）求函数g（x）的极值；
（3）证明：（n∈N，n≥2）．

Answer

（1）求出函数f（x）=ex-ax-1得导数，对参数a的范围进行讨论得出函数的单调区间．
（2）利用导数解决即可．
（3）由（2）知g（x）≤g（1）=-1．，即lnx-x≤-1，lnx≤x-1，（x＞0），∵n∈N+，n≥2，∴lnn2≤n2-1，得到≤=
再利用裂项法求和，即可得出不等式．
【解析】
由已知，得f′（x）=ex-a，当a≤0时，f′（x）＞0恒成立，函数f（x）在R上单调递增．
当a＞0时，由f′（x）＞0，可得x＞lna，由f′（x）＜0，可得x＜lna，故函数f（x）在[lna，+∞）上单调递增，在（-∞，lna]上单调递减，
（2）函数g（x）的定义域为（0，+∞），g′（x）=当0＜x＜1，g′（x）＞0，当x＞1，g′（x）＜0，所以g（x）在x=1取得极大值g（1）=-1．
（3）由（2）知g（x）≤g（1）=-1．，即lnx-x≤-1，lnx≤x-1，（x＞0），∵n∈N+，n≥2，∴lnn2≤n2-1，得到≤=
≤（）+（）+…（）=（n-1）-（++…+）＜（n-1）-[++]
=（n-1）-（）++]=（n-1）-=
即