Question

已知函数f（x）=x+，h（x）=．
（Ⅰ）设函数F（x）=f（x）-h（x），求F（x）的单调区间与极值；
（Ⅱ）设a∈R，解关于x的方程㏒₄[f（x-1）-]=㏒₂h（a-x）-㏒₂h（4-x）；
（Ⅲ）试比较f（100）h（100）-与的大小．

Answer

（Ⅰ）先求导函数，利用导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．即可求F（x）的单调区间与极值；
（Ⅱ）先把原等式转化为关于a和x之间的等量关系，最后利用图象来求x的值（注意对a的讨论）．
（Ⅲ）把f（100）h（100）-转化为一新数列 {an}的前100项和，再比较新数列 {an}的每一项和对应h（x）=之间的大小关系，即可比较f（100）h（100）-与的大小．
【解析】
（Ⅰ）由F（x）=f（x）-h（x）=x+-（x≥0）知，
F'（x）=，令F'（x）=0，得x=．
当x∈（0，）时，F'（x）＜0；当x∈（，=∞）时，F'（x）＞0．
故x∈（0，）时，F（x）是减函数；
故F（x）x∈（，+∞）时，F（x）是增函数．
F（x）在x=处有极小值且F（）=．

（Ⅱ）原方程可化为log4（x-1）+log2 h（4-x）=log2h（a-x），
即log2（x-1）+log2=log2，⇔⇔
①当1＜a≤4时，原方程有一解x=3-；
②当4＜a＜5时，原方程有两解x=3；
③当a=5时，原方程有一解x=3；
④当a≤1或a＞5时，原方程无解．
 （Ⅲ）设数列 {an}的前n项和为sn，且sn=f（n）g（n）-
从而有a1=s1=1．
当2＜k≤100时，ak=sk-sk-1=，ak-=[（4k-3）-（4k-1）]==＞0．
即对任意的2＜k≤100，都有ak＞．
又因为a1=s1=1，
所以a1+a2+a3+…+a100＞=h（1）+h（2）+…+h（100）
故f（100）h（100）-＞