Question

已知a为实数，函数f（x）=x²-2alnx．
（1）求f（x）在[1，+∞）上的最小值g（a）；
（2）若a＞0，试证明：“方程f（x）=2ax有唯一解”的充要条件是“”．

Answer

（1）求导函数，对a分类讨论，确定函数的单调性，即可求出f（x）在[1，+∞）上的最小值g（a）；
（2）分必要性与充分性进行论证，正确构造函数g（x）=f（x）-2ax=x2-2alnx-2ax，将方程f（x）=2ax有唯一解，转化为g（x）=0有唯一解，即可得证．
（1）【解析】
求导函数，可得（x＞1）
①a≤1，x＞1，则f′（x）＞0，∴f（x）在[1，+∞）上是单调递增函数，∴f（x）min=f（1）=1；
②a＞1，x＞1，令f′（x）=0，可得
当时，f′（x）＜0，函数在[1，+∞）上是单调递减函数；当时，f′（x）＞0，函数在[1，+∞）上是单调递增函数，
∴时，f（x）min=a-alna
∴；
（2）证明：记g（x）=f（x）-2ax=x2-2alnx-2ax，则 
①充分性：若，则g（x）=x2-lnx-x，
当x∈（0，1）时，g′（x）＜0，g（x）在（0，1）上是单调递减函数；
当x∈（1，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）在（1，+∞）上是单调递增函数，
∴当x=1时，g（x）min=g（1）=0，即g（x）≥0，当且仅当x=1时取等号，
∴方程f（x）=2ax有唯一解；
②必要性：若方程f（x）=2ax有唯一解，即g（x）=0有唯一解，令g′（x）=0，可得x2-ax-a=0，
∵a＞0，x＞0，∴（另一根舍去）
当x∈（0，x1）时，g′（x）＜0，g（x）在（0，x1）上是单调递减函数；
当x∈（x1，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）在（1，+∞）上是单调递增函数．
∴当x=x2时，g′（x1）=0，g（x）min=g（x1），∵g（x）=0有唯一解，∴g（x1）=0，
∴
∴
∴2alnx1+ax1-a=0
∵a＞0
∴2lnx1+x1-1=0
设函数h（x）=2lnx+x-1
∵x＞0时，h（x）是增函数，∴h（x）=0至多有一解．
∵h（1）=0，∴方程2lnx1+x1-1=0的解为x1=1，即，∴
由①②知，“方程f（x）=2ax有唯一解”的充要条件是“”．