Question

定义域为[a，b]的函数y=f（x）图象的两个端点为A，B，向量，M（x，y）是f（x）图象上任意一点，其中x=λ+（1-λ），λ∈[0，1]．若不等式|MN|≤k恒成立，则称函数f（x）在[a，b]上满足“k范围线性近似”，其中最小的正实数k称为该函数的线性近似阀值．下列定义在[1，2]上函数中，线性近似阀值最小的是（ ）
A．y=x²
B．
C．
D．

Answer

由已知，先得出M、N横坐标相等，将问题转化为求函数的最值问题．
【解析】
由题意，M、N横坐标相等，不等式|MN|≤k对λ∈[0，1]恒成立，最小的正实数k应为|MN|的最大值．
①对于函数y=x2，由A、B是其图象上横坐标分别为a、b的两点，则A（1，1），（2，4）∴AB方程为y-1=（x-1），即y=3x-2
|MN|=|x2-（3x-2）|=|（x-）2-|≤，线性近似阀值为．
②同样对于函数，由A（1，2），（2，1），AB方程为y=-x+3，|MN|═-x+3-=3-（x+）≤3-2，线性近似阀值为3-2．
③同样对于函数，A（1，），B（2，），AB方程为y=，由三角函数图象与性质可知|MN|≤1-，线性近似阀值为1-，
④同样对于函数，得A（1，0），B（2，），
∴直线AB方程为y=（x-1）
∴|MN|=|=-（x-1）=-（），线性近似阀值为．
由于为＞3-2＞1-＞．所以线性近似阀值最小的是
故选D