Question

定义数列{x_n}，如果存在常数p，使对任意正整数n，总有（x_n+1-p）（x_n-p）＜0成立，那么我们称数列{x_n}为“p-摆动数列”．
（1）设a_n=2n-1，，n∈N^*，判断{a_n}、{b_n}是否为“p-摆动数列”，并说明理由；
（2）设数列{c_n}为“p-摆动数列”，c₁＞p，求证：对任意正整数m，n∈N^*，总有c_2n＜c_2m-1成立；
（3）设数列{d_n}的前n项和为S_n，且，试问：数列{d_n}是否为“p-摆动数列”，若是，求出p的取值范围；若不是，说明理由．

Answer

（1）假设数列{an}是“p-摆动数列”，由定义知存在常数p，总有2n-1＜p＜2n+1对任意n成立，通过给n赋值说明常数p不存在即可，对于数列{bn}，通过观察取p=0，然后按照定义论证即可；
（2）根据数列{cn}为“p-摆动数列”及c1＞p，可推出（cn+2-p）（cn-p）＞0，由此可推出c2m-1＞p，同理可推出c2n＜p，从而不等式可证；
（3）先由Sn求出dn，据dn易求出常数p值，根据数列{dn}的奇数项、偶数项的单调性分别求出p的范围，然后两者取交集即可；
【解析】
（1）假设数列{an}是“p-摆动数列”，即存在常数p，总有2n-1＜p＜2n+1对任意n成立，
不妨取n=1，则1＜p＜3，取n=2，则3＜p＜5，显然常数p不存在，
所以数列{an}不是“p-摆动数列”；
而数列{bn}是“p-摆动数列”，p=0．
由，于是对任意n成立，
所以数列{bn}是“p-摆动数列”．
（2）由数列{cn}为“p-摆动数列”，c1＞p，即存在常数p，使对任意正整数n，总有（cn+1-p）（cn-p）＜0成立．
即有（cn+2-p）（cn+1-p）＜0成立．则（cn+2-p）（cn-p）＞0，
所以c1＞p＞⇒c3＞p⇒…⇒c2m-1＞p，
同理（c2-p）（c1-p）＜0⇒c2＜p⇒c4＜p⇒…⇒c2n＜p，
所以c2n＜p＜c2m-1．
因此对任意的m，n∈N*，都有c2n＜c2m-1成立．
（3）当n=1时，d1=-1，
当n≥2，n∈N*时，，
综上，，
则存在p=0，使对任意正整数n，总有成立，
所以数列{dn}是“p-摆动数列”；
当n为奇数时dn=-2n+1递减，所以dn≤d1=-1，只要p＞-1即可，
当n为偶数时dn=2n-1递增，dn≥d2=3，只要p＜3即可．
综上-1＜p＜3．
所以数列{dn}是“p-摆动数列”，p的取值范围是（-1，3）．