Question

设函数
（1）求函数y=T（x²）和y=（T（x））²的解析式；
（2）是否存在实数a，使得T（x）+a²=T（x+a）恒成立，若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由；
（3）定义T_n+1（x）=T_n（T（x）），且T₁（x）=T（x），（n∈N^*）
①当时，求y=T₄（x）的解析式；
已知下面正确的命题：当时（i∈N^*，1≤i≤15），都有恒成立．
②若方程T₄（x）=kx恰有15个不同的实数根，确定k的取值；并求这15个不同的实数根的和．

Answer

（1）先考虑讨论x2与大小，然后把x2代入已知函数解析式中可求y=T（x2），对已知所给函数解析式直接进行平方可求y=（T（x））2的解析式；
（2）分别求出T（x）+a2与T（x+a），代入使其对应项相等即可建立关于a的方程，可求

（3））①当时，根据函数定义域的要求可知，，结合此规律寻求函数的递推规律可求故有
②由①可知当时，有T4（x）=16x，根据命题的结论可得，，代入可求，同理归纳可求
【解析】
（1）函数
函数…4分
（2），
…6分
则当且仅当a2=2a且a2=-2a时，即a=0．
综上可知当a=0时，有T（x）+a2=T（x+a）=T（x）恒成立．…8分
（3）①当时，对于任意的正整数j∈N*，1≤j≤3，
都有，故有 ．…13分
②由①可知当时，有T4（x）=16x，根据命题的结论可得，
当时，，
故有，
因此同理归纳得到，当（i∈N，0≤i≤15）时，…15分
时，解方程T4（x）=kx得，
要使方程T4（x）=kx在x∈[0，1]上恰有15个不同的实数根，
则必须解得
方程的根（n∈N*，1≤n≤15）…17分
这15个不同的实数根的和为：S=x1+x2+…+x14+x15=．…18分．