Question

在棱长为a的正方体OABC-O′A′B′C′中，E、F分别是棱AB、BC上的动点，且AE=BF．
（Ⅰ）求证：A′F⊥C′E；
（Ⅱ）当三棱锥B′-BEF的体积取得最大值时，求二面角B′-EF-B的大小．（结果用反三角函数表示）

Answer

（I）以O为原点建立空间直角坐标系，AE=BF=x，验证，即可证明A′F⊥C′E；
（Ⅱ）利用基本不等式，确定三棱锥B′-BEF的体积取得最大值时，，过B作BD⊥EF交EF于D，连B′D，可知B′D⊥EF，从而∠B′DB是二面角B′-EF-B的平面角，即可求出二面角B′-EF-B的大小．
（I）证明：如图，以O为原点建立空间直角坐标系．
设AE=BF=x，则A′（a，0，a）、F（a-x，a，0）、C′（0，a，a）、E（a，x，0）
∴．…（4分）
∵，
∴A′F⊥C′E．
（II）【解析】
记BF=x，BE=y，则x+y=a，
三棱锥B′-BEF的体积，
当且仅当时，等号成立．
因此，三棱锥B′-BEF的体积取得最大值时，．…（10分）
过B作BD⊥EF交EF于D，连B′D，可知B′D⊥EF．
∴∠B′DB是二面角B′-EF-B的平面角．
在直角三角形BEF中，直角边是斜边上的高，
∴，，
故二面角B′-EF-B的大小为．…（14分）