Question

世博中学为了落实上海市教委推出的“阳光运动一小时”活动，计划在一块直角三角形ABC的空地上修建一个占地面积为S的矩形AMPN健身场地，如图点M在AC上，点N在AB上，且P点在斜边BC上，已知∠ACB=60°且|AC|=30米，|AM|=x，x∈[10，20]．
（1）试用x表示S，并求S的取值范围；
（2）设矩形AMPN健身场地每平方米的造价为，再把矩形AMPN以外（阴影部分）铺上草坪，每平方米的造价为（k为正常数），求总造价T关于S的函数T=f（S）；试问如何选取|AM|的长使总造价T最低（不要求求出最低造价）．

Answer

（1）根据题意，分析可得，欲求健身场地占地面积，只须求出图中矩形的面积即可，再结合矩形的面积计算公式求出它们的面积即得，最后再根据二次函数的性质得出其范围；
（2）对于（1）所列不等式，考虑到其中两项之积为定值，可利用基本不等式求它的最大值，从而解决问题．
【解析】
（1）在Rt△PMC中，显然|MC|=30-x，∠PCM=60°
∴|PM|=|MC|tan∠PCM=（30-x），…2分
矩形AMPN的面积S=|PM||MC|=x（30-x），x∈[10，20]…4分
于是200≤S≤225为所求．…6分
（2）矩形AMPN健身场地造价T1=37k …7分
又△ABC的面积为450，即草坪造价T2=S）…8分
由总造价T=T1+T2，∴T=25k（+），200≤S≤225．…10分
∴T=25k（+），200≤S≤225
∵+≥12，…11分
当且仅当=即S=216时等号成立，…12分
此时x（30-x）=216，解得x=12或x=18，
所以选取|AM|的长为12米或18米时总造价T最低．…14分．