Question

定义数列{x_n}，如果存在常数p，使对任意正整数n，总有（x_n+1-p）（x_n-p）＜0成立，那么我们称数列{x_n}为“p-摆动数列”．
（1）设a_n=2n-1，，n∈N^*，判断{a_n}、{b_n}是否为“p-摆动数列”，并说明理由；
（2）已知“p^-摆动数列”{c_n}满足c_n+1=，c₁=1，求常数p的值；
（3）设d_n=（-1）ⁿ•（2n-1），且数列{d_n}的前n项和为S_n，求证：数列{S_n}是“p-摆动数列”，并求出常数p的取值范围．

Answer

（1）根据题目给出的摆动数列的定义，对数列{an}加以验证，看是否存在常数p，使得2n-1＜p＜2n+1对任意n成立，只要n去不同的值1，2，即可发现p不存在，而对于数列{bn}，满足对任意n成立，所以，p可取值为0；
（2）由数列{cn}是“p-摆动数列”，且满足cn+1=，c1=1，求出c2后可断定常数p的初步范围，再由（xn+1-p）（xn-p）＜0对任意正整数n成立，得出数列的奇数项都小于p，偶数项都大于p，或奇数项都大于p，偶数项都小于p，然后利用“两边夹”的办法可求p的值；
（3）由dn=（-1）n•（2n-1），求出数列{dn}的前n项和，由前n项和看出p=0时即可使数列{Sn}满足“p-摆动数列”的定义，然后根据数列{Sn}在n为奇数和n为偶数时的单调性即可求出p的范围．
【解析】
（1）假设数列{an}是“p-摆动数列”，
即存在常数p，总有2n-1＜p＜2n+1对任意n成立，
不妨取n=1时，则1＜p＜3，取n=2时，则3＜p＜5，显然常数p不存在，
所以数列{an}不是“p-摆动数列”；
由，于是对任意n成立，其中p=0．
所以数列{bn}是“p-摆动数列”．
（2）由数列{cn}为“p-摆动数列”，又c1=1，所以，
即存在常数，使对任意正整数n，总有（cn+1-p）（cn-p）＜0成立；
即有（cn+2-p）（cn+1-p）0，
所以c1＞p⇒c3＞p⇒…⇒c2n-1＞p．
同理c2＜p⇒c4＜p⇒…⇒c2n＜p．
所以c2n＜p＜c2n-1⇒，解得，
即．
同理，解得，即．
综上．
（3）证明：由
．
当n为偶数时，
当n为奇数时，
所以，，
显然存在p=0，使对任意正整数n，总有成立，
所以数列{Sn}是“p-摆动数列”；
当n为奇数时Sn=-n递减，所以Sn≤S1=-1，只要p＞-1即可
当n为偶数时Sn递增，Sn≥S2，只要p＜2即可
综上-1＜p＜2，p的取值范围是（-1，2）．
如取时，
=
=．
因为，-n（n+1）≤-2，
存在，使＜0成立．
所以数列{Sn}是“p-摆动数列”．