Question

设函数
（1）求函数y=T（sin（x））和y=sin（T（x））的解析式；
（2）是否存在非负实数a，使得aT（x）=T（ax）恒成立，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由；
（3）定义T_n+1（x）=T_n（T（x）），且T₁（x）=T（x），（n∈N^*）
①当x∈[0，]时，求y=T_n（x）的解析式；
已知下面正确的命题：当x∈[，]（i∈N^*，1≤i≤2ⁿ-1）时，都有T_n（x）=T_n（-x）恒成立．
②对于给定的正整数m，若方程T_m（x）=kx恰有2^m个不同的实数根，确定k的取值范围；若将这些根从小到大排列组成数列{x_n}（1≤n≤2^m），求数列{x_n}所有2^m项的和．

Answer

（1）由和，解出x的范围，然后直接把代入分段函数解析式即可，
求y=sin（T（x））的解析式可把T（x）直接代入．
（2）分别写出函数y=aT（x）和y=T（ax）的解析式，由解析式看出当a=0时aT（x）=T（ax）恒成立，
而a＞0时，直接由aT（x）=T（ax）看出a取1时此等式成立；
（3）①当x∈[0，]时，x∈[0，），则在函数T（x）=2x的解析式中，依次取x=2x可求y=Tn（x）的解析式；
②根据题目给出的条件：当x∈[，]（i∈N*，1≤i≤2n-1）时，都有Tn（x）=Tn（-x）恒成立，
求出当（i∈N，0≤i≤2n-1）时的Tn（x）的解析式，再由方程Tm（x）=kx求得当时，，那么，数列{xn}所有2m项的和可利用分组进行求和．
【解析】
（1）由，得：或（k∈Z），
由，得：（k∈Z）．
所以，函数=，

函数=，
所以，．
（2），
．
当a=0时，则有a（T（x））=T（ax）=0恒成立．
当a＞0时，当且仅当a=1时有a（T（x））=T（ax）=T（x）恒成立．
综上可知当a=0或a=1时，a（T（x））=T（ax）恒成立；
（3）①当时，对于任意的正整数i∈N*，1≤i≤n-1，
都有，
故有==2nx．
②由①可知当时，有，根据命题的结论可得，
当时，有，
故有=-2nx+2．
因此同理归纳得到，当（i∈N，0≤i≤2n-1）时，
=．
对于给定的正整数m，当时，
解方程Tm（x）=kx得，，
要使方程Tm（x）=kx在x∈[0，1]上恰有2m个不同的实数根，
对于任意i∈N，0≤i≤2m-1，必须恒成立，
解得，若将这些根从小到大排列组成数列{xn}，
由此可得  （n∈N*，1≤i≤2m）．
故数列{xn}所有2m项的和为：

=
=．