Question

已知两直线l₁：x+ysinθ-1=0和l₂：2xsinθ+y+1=0，试求θ的值，使得：（1）l₁∥l₂；（2）l₁⊥l₂．

Answer

（1）由A1B2-A2B1=0，且B1C2-B2C1≠0，可得 sinθ=±，θ=kπ±，k∈Z．
（2）根据题意，可得A1A2+B1B2=0是l1⊥l2的充要条件，故有2sinθ+sinθ=0，解出sinθ，进而可得θ 值．
【解析】
（1）由A1B2-A2B1=0，即2sin2θ-1=0，得 sin2θ=，∴sinθ=±．
由B1C2-B2C1≠0，即1+sinθ≠0，即 sinθ≠-1．综上，sinθ=±，θ=kπ±，k∈Z，
∴当θ=kπ±，k∈Z时，l1∥l2．
（2）∵A1A2+B1B2=0是l1⊥l2的充要条件，∴2sinθ+sinθ=0，
即sinθ=0，∴θ=kπ（k∈Z），∴当θ=kπ，k∈Z时，l1⊥l2．