Question

已知函数（a∈R）．
（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））的切线方程；
（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性．

Answer

可得函数的定义域和导函数，（Ⅰ）代入a=1可得f（1），和f'（1），进而可得切线方程；（Ⅱ）可得导函数为，分a=0和a＞0即a＜0三类分别求得导数的正负情况，进而可得单调性．
【解析】
函数f（x）的定义域为（0，+∞），．…（2分）
（Ⅰ） 当a=1时，，f'（1）=-2+1+1=0，
所以曲线y=f（x）在点（1，f（1））的切线方程为．…（5分）
（Ⅱ），…（6分）
（1）当a=0时，f'（x）=x＞0，f（x）在定义域为（0，+∞）上单调递增，…（7分）
（2）当a＞0时，令f'（x）=0，得x1=-2a（舍去），x2=a，
当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下：

 x  （0，a）  a  （a，+∞）
 f′（x） -  0 +
 f（x）  减  极小值  增

此时，f（x）在区间（0，a）单调递减，在区间（a，+∞）上单调递增；  …（10分）
（3）当a＜0时，令f'（x）=0，得x1=-2a，x2=a（舍去），
当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下：

 x  （0，-2a） -2a  （-2a，+∞）
 f′（x） -  0 +
 f（x）  减  极小值  增

此时，f（x）在区间（0，-2a）单调递减，在区间（-2a，+∞）上单调递增．…（13分）